Suppose that
exists for
where
is real. Prove that it also exists for all
.
Passo 1
O enunciado afirma que a transformada de Laplace de
existe em
, isto é,
Queremos mostrar que, para qualquer
s>a , também vale
ou seja, a transformada existe em todo
s>a .
Passo 2
Observe que, se
s>a , então
De<a = s - a > 0 e, para todo
t>=0 ,
Logo,
Passo 3
Pelo teste da comparação de integrais improprias, como
e sabemos que
integral0^inftyl|F(t)e^-a tr|,dt é finita, concluímos que
integral0^inftyl|F(t)e^-s tr|,dt também é finita.
Resposta
A transformada de Laplace de
F(t) existe para todo
s>a .