Suppose that LF(t) exists for s=a where a is real. Prove that it also exists for all s>a.

Passo 1

O enunciado afirma que a transformada de Laplace de F(t) existe em s=a, isto é,
integral0^infty l|F(t)e^-a tr|,dt < infty
Queremos mostrar que, para qualquer s>a, também vale
integral0^infty l|F(t)e^-s tr|,dt < infty,
ou seja, a transformada existe em todo s>a.

Passo 2

Observe que, se s>a, então De<a = s - a > 0 e, para todo t>=0,
e^-(s t) ;=; e^-a t,e^-De<a t com e^-De<a t<=1
Logo,
l|F(t)e^-s tr| =l|F(t)e^-a tr|;e^-De<a t <= l|F(t)e^-a tr|

Passo 3

Pelo teste da comparação de integrais improprias, como
0;<=;l|F(t)e^-s tr| ;<=;l|F(t)e^-a tr|
e sabemos que
integral0^inftyl|F(t)e^-a tr|,dt é finita, concluímos que
integral0^inftyl|F(t)e^-s tr|,dt também é finita.

Resposta

A transformada de Laplace de F(t) existe para todo s>a.

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