Em cada item, utilize coordenadas cilíndricas para determinar uma parametrização para a superfície descrita.
A parte do cone z^2=x^2+y^2 que está acima do plano x y e dentro do cilindro x^2+y^2=9.

Passo 1

O enunciado pede a parametrização, em coordenadas cilíndricas, da parte do cone definido por z^2=x^2+y^2 que está acima do plano xy e fica dentro do cilindro x^2+y^2=9. O conteúdo aqui é parametrização de superfície usando coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
(x,y,z) = l(rcostheta,;rsintheta,;zr),
onde r>=0 e theta varre um círculo. Vamos usar isso na equação do cone.

Passo 3

Substituindo na equação do cone z^2=x^2+y^2
z^2 = (rcostheta)^2 + (rsintheta)^2 = r^2,
e como queremos a parte acima do plano xy (ou seja, z>=0), temos
z = r
Logo a parametrização candidata é
r(r,theta) = l(rcostheta,;rsintheta,;rr)

Passo 4

Falta impor a condição de estar dentro do cilindro x^2+y^2=9, que em cilíndricas é r^2<=9, ou seja 0<= r<=3. Além disso theta percorre todo o círculo, 0<=theta<2pi.

Resposta

r(r,theta) = l(rcostheta,;rsintheta,;rr), 0<= r<=3, 0<=theta<2pi

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