Find Lt e^-2 t J0(t raiz2).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=t,e^-2tJ0(traiz2). Vamos usar a definição
Lf(t)(s) =integral0^inftye^-stf(t),dt
e uma fórmula conhecida de integrals com a função de Bessel J0.

Passo 2

Substituindo f(t) na definição, obtemos
Lt,e^-2tJ0(traiz2)(s) =integral0^inftyt,e^-ste^-2tJ0(traiz2),dt =integral0^inftyt,e^-(s+2)tJ0(raiz2,t),dt
Aqui identificamos a=s+2 e b=raiz2.

Passo 3

A fórmula conhecida é
integral0^inftyt,e^-a tJ0(b t),dt =al(a^2+b^2r)^3/2,
válida para Re(a)>0.

Passo 4

Aplicando com a=s+2 e b=raiz2, vem
Lt,e^-2tJ0(traiz2)(s) =s+2l((s+2)^2+(raiz2)^2r)^3/2 =s+2l((s+2)^2+2r)^3/2

Resposta

boxedLt,e^-2tJ0(traiz2)(s) =s+2l((s+2)^2+2r)^3/2,

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