Em cada item, utilize coordenadas cilíndricas para determinar uma parametrização para a superfície descrita.
A parte do hiperboloide de uma folha z^2=x^2+y^2-1 que está acima do plano x y e dentro do cilindro x^2+y^2=9.

Passo 1

O enunciado pede a parametrização, em coordenadas cilíndricas, da parte do hiperboloide de uma folha
z^2=x^2+y^2-1
que está acima do plano xy e dentro do cilindro
x^2+y^2=9
O conteúdo usado será mudança para coordenadas cilíndricas e identificação do domínio de r e theta.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas definimos
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z
Substituindo na equação do hiperboloide:
z^2 = r^2 - 1 Longrightarrow z = pmraizr^2-1
Como queremos a parte acima do plano xy, tomamos
z = raizr^2-1

Passo 3

As restrições são:
(1) o cilindro x^2+y^2<=9 r<=3,
(2) para raizr^2-1 real precisamos r^2-1>=0, ou seja r>=1,
(3) o ângulo theta percorre toda a volta, logo thetain[0,2pi].
Assim o domínio é
1 ,<=, r ,<=, 3, 0 ,<=, theta ,<=, 2pi

Passo 4

Montamos a parametrização r(r,theta) da superfície como
r(r,theta) = l(rcostheta,;rsintheta,;raizr^2-1r),
com ,(r,theta)in[1,3]times[0,2pi]

Resposta

r(r,theta)=l(rcostheta,;rsintheta,;raizr^2-1r), 1<= r<=3, 0<=theta<=2pi

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