Em cada item, utilize coordenadas cilíndricas para determinar uma parametrização para a superfície descrita.
A parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 que está acima do plano x y e dentro do cilindro x^2+y^2=2 x.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da parte da esfera
;x^2+y^2+z^2=4;
que está acima do plano xy (ou seja, z>=0) e dentro do cilindro
;x^2+y^2=2x;
O conteúdo aqui é usar coordenadas cilíndricas (r,theta,z) para converter essas equações e obter uma parametrização r(r,theta).

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = rcostheta, y = rsintheta, x^2+y^2=r^2
Então o cilindro x^2+y^2=2x fica
r^2=2rcostheta Longrightarrow r=2costheta(costheta>=0)

Passo 3

A esfera x^2+y^2+z^2=4 em cilindricas é
r^2+z^2=4 Longrightarrow z=pmraiz4-r^2
Como queremos a parte acima do plano xy, tomamos
z=raiz4-r^2>=0

Passo 4

Logo uma parametrização natural é
r(r,theta) =l(rcostheta,;rsintheta,;raiz4-r^2r)

Passo 5

Faltam os limites de r e theta. Do cilindro r=2costheta e costheta>=0 segue
-tfracpi2<=theta<=tfracpi2, 0<= r<= 2costheta

Resposta

A parametrização da superfície é
r(r,theta) =l(rcostheta,;rsintheta,;raiz4-r^2r),
com
-pi2<=theta<=pi2, 0<= r<= 2costheta

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