Em cada item, utilize coordenadas esféricas para determinar uma parametrização para a superfície descrita.
A parte da esfera
que está acima do plano
e dentro do cilindro
.
A parte da esfera
Passo 1
O enunciado pede uma parametrização, em coordenadas esféricas, da parte da esfera
que fica acima do plano
(isto é,
) e está dentro do cilindro
Para resolver, vamos usar as fórmulas de conversão para coordenadas esféricas e determinar os intervalos de
e
.
Passo 2
Em coordenadas esféricas temos
onde
,
é o ângulo polar (a partir do eixo
) e
é o ângulo azimutal no plano
.
Passo 3
Como a superfície é a esfera de raio 2, fixamos
.
A condição implica
A condição
A condição de estar dentro do cilindro
é
Portanto o ângulo
varia de
até
, e
descreve toda a volta:
Passo 4
Juntando tudo, definimos a parametrização
com
Resposta
A parametrização pedida é
com
e
.