Em cada item, utilize coordenadas esféricas para determinar uma parametrização para a superfície descrita.
A parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 que está acima do plano x y e dentro do cilindro x^2+y^2=1.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização, em coordenadas esféricas, da parte da esfera
x^2+y^2+z^2=4
que fica acima do plano xy (isto é, z>=0) e está dentro do cilindro
x^2+y^2=1
Para resolver, vamos usar as fórmulas de conversão para coordenadas esféricas e determinar os intervalos de theta e phi.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos
x = rho,sinphicostheta, y = rho,sinphisintheta, z = rho,cosphi,
onde rho>=0, 0<=phi<=pi é o ângulo polar (a partir do eixo z) e 0<=theta<2pi é o ângulo azimutal no plano xy.

Passo 3

Como a superfície é a esfera de raio 2, fixamos rho=2.
A condição z>=0 implica
2cosphi>=0 Longrightarrow 0<=phi<=tfracpi2
A condição de estar dentro do cilindro x^2+y^2<=1 é
(rhosinphi)^2<=1 Longrightarrow 4sin^2phi<=1 Longrightarrow sinphi<=tfrac12 Longrightarrow 0<=phi<=tfracpi6
Portanto o ângulo phi varia de 0 até pi/6, e theta descreve toda a volta:
0<=theta<2pi

Passo 4

Juntando tudo, definimos a parametrização
r(theta,phi) = l(2sinphicostheta,;2sinphisintheta,;2cosphir),
com
0<=theta<2pi, 0<=phi<=tfracpi6

Resposta

A parametrização pedida é
r(theta,phi) = l(2sinphicostheta,;2sinphisintheta,;2cosphir),
com 0 <= theta < 2pi e 0 <= phi <= pi/6.

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