Em cada item, utilize coordenadas esféricas para determinar uma parametrização para a superfície descrita.
A parte da esfera
que está acima do plano
e dentro do cilindro
.
A parte da esfera
Passo 1
O enunciado pede a parte da esfera
que está acima do plano
e dentro do cilindro
. O conteúdo é parametrização de superfícies via coordenadas esféricas, e vamos precisar:
- escrever
em função de e com raio ; - traduzir as restrições
e em condições para e .
Passo 2
Em coordenadas esféricas com raio fixo
temos a parametrização geral da esfera:
onde
é o ângulo polar (medido a partir do eixo
) e
é o ângulo azimutal no plano
.
Passo 3
A condição “acima do plano
” equivale a
, ou seja
. Como
, isso dá
A condição “dentro do cilindro
” em coordenadas polares no plano
é
onde
. Logo
com
(isto é,
).
Passo 4
Resolvendo
para
fixo ou
fixo, obtemos uma descrição mais simples do domínio. Por exemplo, para
fixo, exige-se
Como para
vale
, o domínio fica
Dessa forma, uma parametrização da superfície é
com