Em cada item, utilize coordenadas esféricas para determinar uma parametrização para a superfície descrita.
A parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 que está acima do plano x y e dentro do cilindro x^2+y^2=2 x.

Passo 1

O enunciado pede a parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 que está acima do plano xy e dentro do cilindro x^2+y^2=2x. O conteúdo é parametrização de superfícies via coordenadas esféricas, e vamos precisar:
  1. escrever (x,y,z) em função de phi e theta com raio 2;
  2. traduzir as restrições z>=0 e x^2+y^2<=2x em condições para phi e theta.

Passo 2

Em coordenadas esféricas com raio fixo 2 temos a parametrização geral da esfera:
x = 2sinphicostheta, y = 2sinphisintheta, z = 2cosphi,
onde phiin[0,pi] é o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e thetain[0,2pi) é o ângulo azimutal no plano xy.

Passo 3

A condição “acima do plano xy” equivale a z>=0, ou seja cosphi>=0. Como phiin[0,pi], isso dá
phiinl[0,tfracpi2r]
A condição “dentro do cilindro x^2+y^2=2x” em coordenadas polares no plano xy é
r^2<=2rcosthetaLongrightarrow r<=2costheta,costheta>=0,
onde r=2sinphi. Logo
2sinphi<=2costheta Longrightarrow sinphi<=costheta,
com costheta>=0 (isto é, thetain[-tfracpi2,tfracpi2]).

Passo 4

Resolvendo sinphi<=costheta para theta fixo ou phi fixo, obtemos uma descrição mais simples do domínio. Por exemplo, para phiin[0,pi/2] fixo, exige-se
costheta>=sinphi Long<=ftrightarrow |theta|<=arccosl(sinphir)
Como para phiin[0,pi/2] vale arccos(sinphi)=tfracpi2-phi, o domínio fica
0<=phi<=tfracpi2, -l(tfracpi2-phir)<=theta<=tfracpi2-phi
Dessa forma, uma parametrização da superfície é
r(phi,theta) =l(2sinphicostheta,;2sinphisintheta,;2cosphir),
com
0<=phi<=tfracpi2, -(tfracpi2-phi)<=theta<=tfracpi2-phi

Resposta

r(phi,theta) =l(2sinphicostheta,;2sinphisintheta,;2cosphir), 0<=phi<=tfracpi2, -(tfracpi2-phi)<=theta<=tfracpi2-phi

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