Em cada item, utilize coordenadas esféricas para determinar uma parametrização para a superfície descrita.
A parte da esfera x^2+y^2+z^2=9 que está acima do plano x y.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização, via coordenadas esféricas, da parte da esfera
x^2+y^2+z^2=9
que está acima do plano xy (isto é, acima do plano z=0). Vamos usar a relação entre coordenadas esféricas e cartesianas para superfícies de esfera.

Passo 2

Nas coordenadas esféricas usamos os parâmetros rho, phi e theta definidos por
x = rhosinphicostheta, y = rhosinphisintheta, z = rhocosphi,
onde rho>=0, phiin[0,pi] é o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e thetain[0,2pi] é o ângulo azimutal no plano xy.

Passo 3

Como estamos na esfera de raio 3, fixamos rho=3. E como queremos apenas a parte acima do plano z=0, precisamos de z>=0, ou seja cosphi>=0. Isso implica
phiinl[0,tfracpi2r]
O ângulo theta percorre todo o círculo em torno do eixo z, portanto
thetain[0,2pi]

Passo 4

Substituindo rho=3 e os intervalos de phi e theta na relação esférica, obtemos a parametrização
r(phi,theta) = l(3sinphicostheta,;3sinphisintheta,;3cosphir),
com
phiinl[0,tfracpi2r], thetain[0,2pi]

Resposta

r(phi,theta) = l(3sinphicostheta,;3sinphisintheta,;3cosphir), 0<=phi<=tfracpi2,; 0<=theta<=2pi

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