If F(t)=lrsin t & 0<t<pi 0 & t>pi, show that LF(t)=1+e^-pi ss^2+1.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
F(t)= sin t, &0<t<pi, 0, &t>pi,
e pede o transformado de Laplace
LF(t)=integral0^inftyF(t)e^-st,dt
Como F(t)=0 para t>pi, basta calcular
integral0^pisin t,e^-st,dt

Passo 2

Usamos a identidade exponencial
sin t=e^i t-e^-i t2i,
para escrever
integral0^pisin t,e^-st,dt =12il(I+-I-r),
onde
I+=integral0^pie^-t(s - i),dt, I-=integral0^pie^-t(s + i),dt

Passo 3

Cada um dos Ipm é uma integral de exponencial simples:
Ipm =integral0^pie^-t,(smp i),dt =[e^-t,(smp i)-(smp i)]0^pi =1 - e^-pi,(smp i)smp i

Passo 4

Substituindo em LF e usando e^pm ipi=-1, temos
LF =12il( 1 - e^-pi se^ipis - i -1 - e^-pi se^-ipis + i r) =12il( 1 + e^-pi ss - i -1 + e^-pi ss + i r)

Passo 5

Colocando sobre denominador comum (s - i)(s + i)=s^2+1 e fazendo
12il(1+e^-pi ss - i-1+e^-pi ss + ir) =(1+e^-pi s), 12i,(s+i)-(s-i)s^2+1 =1+e^-pi ss^2+1

Resposta

LF(t)=1+e^-pi ss^2+1

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