Show that
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
onde, para
, adotamos a função integral exponencial usual
Neste contexto assumimos
. Vamos usar a representação integral de
, trocar a ordem de integração (Fubini) e usar frações parciais para obter o valor fechado.
Passo 2
Usamos a mudança de variável
em
Logo
Como o integrando é não-negativo, podemos trocar as integrais:
Passo 3
Calcular a integral em
. Seja
. Sabe-se que
Assim
Passo 4
Decompondo em frações parciais:
temos
Igualando coeficientes resulta
,
,
. Portanto
Passo 5
Integramos de
a
:
e avaliamos nos limites:
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