Show that integral0^infty t e^-t Ei(t) d t=ln 2-12.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
I ;=;integral0^inftyt,e^-t,Ei(t),dt,
onde, para t>0, adotamos a função integral exponencial usual
E1(t);=;integralt^inftye^-uu,du
Neste contexto assumimos Ei(t)=E1(t). Vamos usar a representação integral de E1(t), trocar a ordem de integração (Fubini) e usar frações parciais para obter o valor fechado.

Passo 2

Usamos a mudança de variável u=tx em
E1(t) =integralt^inftye^-uu,du longrightarrow E1(t) =integral1^inftye^-t,xx,dx
Logo
I =integral0^inftyt,e^-tl[integral1^inftye^-t,xx,dxr]dt
Como o integrando é não-negativo, podemos trocar as integrais:
I =integral1^infty1xl[integral0^inftyt,e^-t(1+x),dtr]dx

Passo 3

Calcular a integral em t. Seja alpha=1+x>1. Sabe-se que
integral0^inftyt,e^-alpha t,dt =1alpha^2
Assim
I =integral1^infty1x,1(1+x)^2,dx =integral1^inftydxx,(1+x)^2

Passo 4

Decompondo em frações parciais:
1x,(1+x)^2 =Ax+B1+x+C(1+x)^2,
temos
1 =A(1+x)^2+B,x(1+x)+C,x =(A+B)x^2+(2A+B+C)x+A
Igualando coeficientes resulta A=1, B=-1, C=-1. Portanto
1x,(1+x)^2 =1x-11+x-1(1+x)^2

Passo 5

Integramos de 1 a infty:
integrall(1x-11+x-1(1+x)^2r)dx =ln x-ln(1+x)+11+x
e avaliamos nos limites:
F(x)=ln x-ln(1+x)+11+x, F(infty)=0, F(1)=ln1-ln2+tfrac12=tfrac12-ln2
Logo
I =F(infty)-F(1) =0-l(tfrac12-ln2r) =ln2-tfrac12

Resposta

ln 2 - tfrac12.

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