Defina f:[0,1] R, onde f(0)=0 e f(x)=12^n. Se 12^n+1<x<12^n, prove que f é integrável e calcule:
integral0^1 f(x) d x
Solução de Nome (matricula), Nome (matricula),… :

Passo 1

O enunciado define uma função por partes em [0,1] , constante em cada intervalo aberto l(tfrac12^n+1,tfrac12^nr) igual a tfrac12^n, e com f(0)=0. O conteúdo envolvido é Riemann-integrabilidade de funções em escada e soma de séries geométricas para calcular a integral.

Passo 2

Primeiro notamos que f é limitada em [0,1] (pois 0<= f(x)<=1). As únicas descontinuidades ocorrem nos pontos dyádicos x=tfrac12^n, n=0,1,2,dots. Esse conjunto de pontos é enumerável, logo tem medida zero.
Pelo critério de Riemann, uma função limitada em [0,1] é integrável se o conjunto de pontos de descontinuidade tem medida zero. Assim f é Riemann-integrável em [0,1].

Passo 3

Para calcular a integral, note que em cada intervalo l(tfrac12^n+1,tfrac12^nr) temos f(x)=tfrac12^n. A contribuição à integral é
integraltfrac12^n+1^tfrac12^nf(x),dx =12^n,l(12^n-12^n+1r) =12^n,12^n+1 =12^2n+1
Somando sobre todos os n=0,1,2,dots, a integral total é a série
sumn=0^infty12^2n+1 =12sumn=0^inftyl(14r)^n =12cdot11-tfrac14 =12cdot43 =23

Resposta

integral0^1f(x),dx=23

Exercícios relacionados