Defina
, onde
e
. Se
, prove que
é integrável e calcule:
Solução de Nome (matricula), Nome (matricula),… :
Passo 1
O enunciado define uma função por partes em
, constante em cada intervalo aberto
igual a
, e com
. O conteúdo envolvido é Riemann-integrabilidade de funções em escada e soma de séries geométricas para calcular a integral.
Passo 2
Primeiro notamos que
é limitada em
(pois
). As únicas descontinuidades ocorrem nos pontos dyádicos
,
. Esse conjunto de pontos é enumerável, logo tem medida zero.
Pelo critério de Riemann, uma função limitada em é integrável se o conjunto de pontos de descontinuidade tem medida zero. Assim
é Riemann-integrável em
.
Pelo critério de Riemann, uma função limitada em
Passo 3
Para calcular a integral, note que em cada intervalo
temos
. A contribuição à integral é
Somando sobre todos os
, a integral total é a série