Prove that
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo real
,
O conteúdo principal aqui é usar a transformada de Fourier bidimensional de uma gaussiana e, em coordenadas polares, reconhecer a função de Bessel
.
Passo 2
Considere a integral bidimensional da gaussiana padrão deslocada em
no espaço de Fourier:
Sabemos do cálculo de transformadas de Fourier de gaussianas que
Passo 3
Agora reescrevemos
em coordenadas polares
, onde
e
. O elemento de área é
. Assim
Passo 4
No interior temos a integral angular
pela representação integral de
. Logo
Passo 5
Igualando as duas expressões de
, temos
Divide-se ambos os lados por
: