Prove that integral0^infty u e^-u^2 J0(a u) d u=12 e^-a^2 / 4.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo real a,
integral0^inftyu,e^-u^2J0(a,u),du=tfrac12,e^-a^2/4
O conteúdo principal aqui é usar a transformada de Fourier bidimensional de uma gaussiana e, em coordenadas polares, reconhecer a função de Bessel J0.

Passo 2

Considere a integral bidimensional da gaussiana padrão deslocada em x no espaço de Fourier:
I(a)=integral-infty^inftyintegral-infty^infty e^-x^2-y^2,e^-i,a,x,dx,dy
Sabemos do cálculo de transformadas de Fourier de gaussianas que
I(a)=pi,e^-a^2/4

Passo 3

Agora reescrevemos I(a) em coordenadas polares (r,theta), onde x=rcostheta e y=rsintheta. O elemento de área é dx,dy=r,dr,dtheta. Assim
I(a) =integral0^2piintegral0^infty e^-r^2, e^-i,a,rcostheta, r,dr,dtheta

Passo 4

No interior temos a integral angular
integral0^2pie^-i,a,rcostheta,dtheta =2pi,J0(a,r),
pela representação integral de J0. Logo
I(a) = integral0^2piintegral0^infty e^-r^2,r,e^-i,a,rcostheta,dr,dtheta =2piintegral0^inftyr,e^-r^2,J0(a,r),dr

Passo 5

Igualando as duas expressões de I(a), temos
2piintegral0^inftyr,e^-r^2,J0(a,r),dr =pi,e^-a^2/4
Divide-se ambos os lados por 2pi:
integral0^inftyr,e^-r^2,J0(a,r),dr =tfrac12,e^-a^2/4

Resposta

integral0^inftyu,e^-u^2J0(a,u),du=tfrac12,e^-a^2/4

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