Em cada item, utilize coordenadas esféricas para determinar uma parametrização para a superfície descrita.
A parte esfera x^2+y^2+z^2=9 que está entre os planos y=0 e y=x e com x >= 0.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da parte da esfera
x^2+y^2+z^2=9
que fica entre os planos y=0 e y=x e ainda satisfaz x>=0. Vamos usar coordenadas esféricas, já que a superfície é parte de uma esfera.

Passo 2

Em coordenadas esféricas padrão temos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi
Como estamos sobre a esfera de raio 3, fixamos rho=3.

Passo 3

Precisamos achar os valores de theta que colocam o ponto entre os planos y=0 e y=x, mantendo x>=0.
  • y=0 corresponde a theta=0 ou theta=pi, mas com x>=0 ficamos perto de theta=0.
  • y=x tantheta=1, logo theta=pi/4 (novamente em x>=0).
    Assim o ângulo azimutal varia em
0 <= theta <= pi4

Passo 4

O ângulo polar phi percorre toda a esfera de cima a baixo, então
0 <= phi <= pi

Resposta

Uma parametrização conveniente é
r(phi,theta) =l(3sinphicostheta,;3sinphisintheta,;3cosphir),
com domínio dos parâmetros
0<=phi<=pi, 0<=theta<=pi4

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