Show that Lsin ^3 t=6(s^2+1)(s^2+9).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de sin^3 t. O conteúdo aplicado será a identidade trigonométrica para sin^3 t e a propriedade de linearidade da transformada de Laplace, além das transformadas conhecidas de sin(at).

Passo 2

Usamos a identidade
sin^3 t = 3sin t - sin(3t)4
Essa fórmula é obtida a partir de expressões de ângulos múltiplos ou da fórmula de redução de potência em trigonometria.

Passo 3

Pela linearidade da transformada de Laplace,
Lsin^3 t = Lltfrac3sin t - sin(3t)4r = 34,Lsin t ;-;14,Lsin(3t)

Passo 4

Sabemos que
Lsin t = 1s^2+1, Lsin(3t) = 3s^2+9
Substituindo:
Lsin^3 t = 34cdot1s^2+1 - 14cdot3s^2+9 = 34(s^2+1) - 34(s^2+9)
Colocando sobre um denominador comum:
Lsin^3 t = 3(s^2+9) - 3(s^2+1)4,(s^2+1)(s^2+9) = 3s^2 + 27 -3s^2 -34,(s^2+1)(s^2+9) = 244,(s^2+1)(s^2+9)

Resposta

Lsin^3 t = 6(s^2+1)(s^2+9)

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