Em cada item, utilize coordenadas esféricas para determinar uma parametrização para a superfície descrita.
A parte do cone z^2=x^2+y^2 que está acima do plano x y e dentro do cilindro x^2+y^2=9.

Passo 1

O enunciado pede a parte do cone
z^2=x^2+y^2
acima do plano xy e com x^2+y^2<=9, e queremos usar coordenadas esféricas. Em esféricas temos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com rho>=0, phiin[0,pi], thetain[0,2pi]. Vamos achar as condições em phi,rho,theta.

Passo 2

Converter o cone em esféricas. A equação z^2=x^2+y^2 vira
(rhocosphi)^2=(rhosinphi)^2 Longrightarrow cos^2phi=sin^2phi Longrightarrow phi=pi4 ou phi=3pi4
Como queremos a parte acima do plano xy (i.e.\ z>=0), escolhemos phi=tfracpi4.

Passo 3

Converter o cilindro x^2+y^2=9. Em esféricas isso é
(rhosinphi)^2=9 Longrightarrow rho=3sinphi
Para phi=tfracpi4 temos sintfracpi4=tfracraiz22, logo
rho=3raiz2/2=3raiz2
Dentro do cilindro significa 0<=rho<=3raiz2.

Passo 4

Agora parametrize a superfície fixando phi=tfracpi4 e variando rho e theta. Definimos
rhoin[0,3raiz2], thetain[0,2pi], phi=pi4
A parametrização é
r(rho,theta) =l(rhosintfracpi4costheta,;rhosintfracpi4sintheta,;rhocostfracpi4r)
Como sintfracpi4=costfracpi4=tfracraiz22, isso simplifica para
r(rho,theta) =l(rhoraiz2costheta,;rhoraiz2sintheta,;rhoraiz2r)

Resposta

A parametrização da parte do cone é
r(rho,theta) =l(tfracrhoraiz2costheta,;tfracrhoraiz2sintheta,;tfracrhoraiz2r), 0<=rho<=3raiz2, 0<=theta<=2pi

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