Seja f uma função contínua no intervalo [a, b]. Para a<x<b, considere que exista a derivada de 2^a ordem de f(x), f^prime(x)>0 e f^prime prime(x)>0. Se f^-1 é a função inversa de f, então:
Denotanto f^-1=u, mostre que u^prime prime(y)<0.
Solução de Nome (matricula), Nome (matricula),… :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função contínua f no intervalo [a, b] e nos diz que f tem derivadas primeira e segunda positivas no intervalo aberto (a, b). A gente quer mostrar que a segunda derivada da função inversa u = f^-1 é negativa, ou seja, u''(y) < 0 . Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula das derivadas da função inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar a primeira derivada da função inversa. Se u = f^-1 , então a primeira derivada de u em relação a y é:
u'(y) = 1f'(x)
onde x = u(y) . Isso porque a derivada da inversa é o inverso da derivada da função original.

Passo 3

Agora, para encontrar a segunda derivada de u , ou seja, u''(y) , vamos derivar novamente u'(y) em relação a y . Usando a regra da cadeia, temos:
u''(y) = ddy(1f'(x)) = -f''(x) cdot u'(y)(f'(x))^2
Substituindo u'(y) da etapa anterior, fica:
u''(y) = -f''(x)(f'(x))^3

Passo 4

Sabemos pelo enunciado que f'(x) > 0 e f''(x) > 0 para todo x no intervalo (a, b). Vamos analisar o sinal de u''(y) :
u''(y) = -f''(x)(f'(x))^3
Como f''(x) > 0 e f'(x) > 0 , todo o denominador (f'(x))^3 é positivo. Multiplicando por -1 , o resultado final será negativo.

Resposta

u''(y) < 0

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