Seja
uma função contínua no intervalo
. Para
, considere que exista a derivada de
ordem
e
. Se
é a função inversa de
, então:
Denotanto
, mostre que
.
Solução de Nome (matricula), Nome (matricula),… :
Denotanto
Solução de Nome (matricula), Nome (matricula),… :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função contínua
no intervalo
e nos diz que
tem derivadas primeira e segunda positivas no intervalo aberto
. A gente quer mostrar que a segunda derivada da função inversa
é negativa, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula das derivadas da função inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontrar a primeira derivada da função inversa. Se
, então a primeira derivada de
em relação a
é:
onde
. Isso porque a derivada da inversa é o inverso da derivada da função original.
Passo 3
Agora, para encontrar a segunda derivada de
, ou seja,
, vamos derivar novamente
em relação a
. Usando a regra da cadeia, temos:
Substituindo
da etapa anterior, fica:
Passo 4
Sabemos pelo enunciado que
e
para todo
no intervalo
. Vamos analisar o sinal de
:
Como
e
, todo o denominador
é positivo. Multiplicando por
, o resultado final será negativo.