Em cada item, utilize coordenadas esféricas para determinar uma parametrização para a superfície descrita.
A parte do plano z=2 que está dentro da esfera x^2+y^2+z^2=16.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização, usando coordenadas esféricas, da parte do plano z=2 que está dentro da esfera x^2+y^2+z^2=16. Para isso vamos usar as relações x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi e determinar como o plano impõe uma relação entre rho e phi e quais são os limites de phi e theta.

Passo 2

Na superfície temos z=2. Em coordenadas esféricas isso vira rhocosphi=2. Logo podemos expressar rho em função de phi:
rho=2cosphi

Passo 3

Como estamos dentro da esfera de raio 4, precisamos de rho<=4. Substituindo rho=2/cosphi
2cosphi<=4impliescosphi>=tfrac12
Portanto
0<=phi<=pi/3 e o ângulo azimutal varia em 0<=theta<=2pi.

Passo 4

Basta agora pôr rho=2/cosphi nas fórmulas de transformação para obter a parametrização. Como
x=rhosinphicostheta=2cosphisinphicostheta=2tanphicostheta,
y=2tanphisintheta, $$
z=2,$$
ficamos com a parametrização em função de z=2, e phi.

Resposta

r(phi,theta)=l(2tanphicostheta,;2tanphisintheta,;2r)
com 0<=phi<=pi3 e 0<=theta<=2pi.

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