Mostre que a função f é integrável, sendo:
f(x)= sen(1 / x) & , se 0<x <= 1 0 & , se x=0
Solução de Nome (matricula), Nome (matricula),… :

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
fcolon[0,1]toR, f(x)= sinl(1/xr),&0<x<=1, 0,&x=0,
é (Riemann) integrável em [0,1]. Vamos usar o critério de Lebesgue para integrabilidade de Riemann, que diz que uma função limitada num intervalo é Riemann-integrável se e somente se o conjunto de seus pontos de descontinuidade tiver medida zero.

Passo 2

Mostramos que f é limitada em [0,1]. De fato, para todo xin(0,1] vale
l|sin(1/x)r|<=1,
e em x=0 temos f(0)=0. Logo
|f(x)|<=1forall xin[0,1],
isto é, f é limitada.

Passo 3

Identificamos os pontos de descontinuidade de f. Para x>0, a função xmapsto1/x é contínua e sin também é contínua, portanto a composição xmapstosin(1/x) é contínua em todo (0,1]. Em x=0, porém, não existe
limxto0sin(1/x)
porque sin(1/x) oscila entre -1 e 1. Como f(0)=0, f é descontínua em x=0. Concluímos que o único ponto de descontinuidade de f em [0,1] é x=0.

Passo 4

O conjunto de descontinuidade de f é 0, que tem medida zero em R. Pelo critério de Lebesgue para integrabilidade de Riemann, uma função limitada num intervalo é Riemann-integrável se o conjunto de seus pontos de descontinuidade tiver medida zero. Portanto, f é Riemann-integrável em [0,1].

Resposta

A função f é (Riemann) integrável em [0,1].

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