é (Riemann) integrável em [0,1]. Vamos usar o critério de Lebesgue para integrabilidade de Riemann, que diz que uma função limitada num intervalo é Riemann-integrável se e somente se o conjunto de seus pontos de descontinuidade tiver medida zero.
Passo 2
Mostramos que f é limitada em [0,1]. De fato, para todo xin(0,1] vale
l|sin(1/x)r|<=1,
e em x=0 temos f(0)=0. Logo
|f(x)|<=1forall xin[0,1],
isto é, f é limitada.
Passo 3
Identificamos os pontos de descontinuidade de f. Para x>0, a função xmapsto1/x é contínua e sin também é contínua, portanto a composição xmapstosin(1/x) é contínua em todo (0,1]. Em x=0, porém, não existe limxto0sin(1/x)
porque sin(1/x) oscila entre -1 e 1. Como f(0)=0, f é descontínua em x=0. Concluímos que o único ponto de descontinuidade de f em [0,1] é x=0.
Passo 4
O conjunto de descontinuidade de f é 0, que tem medida zero em R. Pelo critério de Lebesgue para integrabilidade de Riemann, uma função limitada num intervalo é Riemann-integrável se o conjunto de seus pontos de descontinuidade tiver medida zero. Portanto, f é Riemann-integrável em [0,1].