Find Lt u(t-1)+t^2 de<a(t-1).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=t,u(t-1)+t^2,de<a(t-1)
Aqui vamos usar duas propriedades básicas da transformada de Laplace:
  1. Para a parte com o degrau unitário u(t-a), temos
Lg(t),u(t-a)=integrala^inftyg(t),e^-s t,dt
  1. Para a parte com o impulso de Dirac de<a(t-a), usamos
Lg(t),de<a(t-a)=g(a),e^-a s

Passo 2

Vamos calcular primeiro
Lt,u(t-1)=integral1^inftyt,e^-s t,dt
Lembramos que a transformada de t de 0 a infty é 1/s^2, ou seja,
integral0^inftyt,e^-s t,dt=1s^2
Podemos então escrever
integral1^inftyt,e^-s t,dt =integral0^inftyt,e^-s t,dt -integral0^1t,e^-s t,dt =1s^2-integral0^1t,e^-s t,dt

Passo 3

Agora calculamos
I=integral0^1t,e^-s t,dt
por integração por partes. Seja u=t e dv=e^-s tdt. Então du=dt e v=-1se^-s t. Logo,
I =-ts,e^-s t|0^1 +1sintegral0^1e^-s t,dt =-1s,e^-s +1s,l[-1se^-s tr]0^1
Isso dá
I =-e^-ss +1s,l(-e^-ss+1sr) =1s^2-e^-s(s+1)s^2

Passo 4

Substituindo I na expressão de integral1^inftyt,e^-s t,dt, obtemos
integral1^inftyt,e^-s t,dt =1s^2 -l(1s^2-e^-s(s+1)s^2r) =e^-s(s+1)s^2
Logo
Lt,u(t-1) =e^-s(s+1)s^2

Passo 5

Agora calculamos a transformada da parte com o impulso:
Lt^2,de<a(t-1) =1^2,e^-1cdot s =e^-s
Isso segue da propriedade Lg(t),de<a(t-a)=g(a)e^-as.

Passo 6

Finalmente somamos as duas contribuições:
Lf(t) =e^-s(s+1)s^2+e^-s =e^-sl(s+1s^2+1r) =e^-s,s^2+s+1s^2

Resposta

Lt,u(t-1)+t^2,de<a(t-1) =e^-s,s^2+s+1s^2

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