Em cada item, utilize coordenadas esféricas para determinar uma parametrização para a superfície descrita.
A parte da esfera x^2+y^2+z^2=9 em que y >= 0.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização, via coordenadas esféricas, da parte da esfera
x^2 + y^2 + z^2 = 9
em que y>= 0. O conteúdo usado será a relação entre coordenadas cartesianas e esféricas, fixando o raio.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x = rho ,sinphicostheta, y = rho ,sinphisintheta, z = rho ,cosphi,
onde rho>=0, phiin[0,pi] (colatitude) e thetain[0,2pi] (azimute).

Passo 3

Para parametrizar a esfera de raio 3 basta fixar rho=3. Assim a parametrização geral da esfera é
r(phi,theta) = l(3sinphicostheta,;3sinphisintheta,;3cosphir),
com phiin[0,pi], thetain[0,2pi].

Passo 4

A condição y>=0 impõe
3sinphisintheta>=0
Como sinphi>=0 para phiin[0,pi], basta ter sintheta>=0, ou seja
thetain[0,pi]

Resposta

A parametrização da parte da esfera x^2+y^2+z^2=9 com y>=0 é
r(phi,theta) = l(3sinphicostheta,;3sinphisintheta,;3cosphir),
com
0<=phi<=pi, 0<=theta<=pi

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