Let
and
be sectionally continuous in every finite interval and of exponential order as
. Prove that
exists.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são seccionalmente contínuas em cada intervalo finito de
e são de ordem exponencial quando
. Precisamos mostrar que a transformada de Laplace
existe, isto é, que a integral acima converge para
suficientemente grande.
Passo 2
Por hipótese de ordem exponencial, existem constantes
,
e
,
e um
tais que, para todo
,
Como
e
são seccionalmente contínuas em
, elas são limitadas nesse intervalo, o que garante que
é finita para todo
.
Passo 3
Para a parte de
, usamos o limite exponencial. Temos, para
,
onde
. Assim,
Passo 4
A integral
converge se, e somente se,
, ou seja,
. Nesse caso,
que é finita.
Passo 5
Portanto, para
temos
logo a transformada de Laplace de
existe nesse semiplano.
Resposta
A transformada de Laplace
converge e, portanto, existe para todo
com
.