Let F(t) and G(t) be sectionally continuous in every finite interval and of exponential order as t infty. Prove that LF(t) G(t) exists.

Passo 1

O enunciado diz que F(t) e G(t) são seccionalmente contínuas em cada intervalo finito de [0,infty) e são de ordem exponencial quando ttoinfty. Precisamos mostrar que a transformada de Laplace
LF(t)G(t)(s) =integral0^inftyF(t),G(t),e^-s t,dt
existe, isto é, que a integral acima converge para Re(s) suficientemente grande.

Passo 2

Por hipótese de ordem exponencial, existem constantes M>0, a e N>0, b e um T>=0 tais que, para todo t>= T,
|F(t)|<= M,e^a t, |G(t)|<= N,e^b t
Como F e G são seccionalmente contínuas em [0,T], elas são limitadas nesse intervalo, o que garante que integral0^T|F(t)G(t)|e^-s t,dt é finita para todo s.

Passo 3

Para a parte de t>= T, usamos o limite exponencial. Temos, para t>= T,
|F(t),G(t)|;e^-sigma t <= (M,e^a t)(N,e^b t),e^-sigma t = M,N,e^(a+b-sigma),t,
onde sigma=Re(s). Assim,
integralT^infty|F(t),G(t)|,e^-sigma t,dt <= M,NintegralT^inftye^(a+b-sigma),t,dt

Passo 4

A integral
integralT^inftye^(a+b-sigma),t,dt
converge se, e somente se, a+b-sigma<0, ou seja, sigma>a+b. Nesse caso,
integralT^inftye^(a+b-sigma),t,dt =[e^(a+b-sigma),ta+b-sigma]t=T^ttoinfty =e^(a+b-sigma),Tsigma-(a+b),
que é finita.

Passo 5

Portanto, para Re(s)>!a+b temos
integral0^infty|F(t),G(t)|,e^-s t,dt =integral0^T!cdots+integralT^infty!cdots<infty,
logo a transformada de Laplace de F(t)G(t) existe nesse semiplano.

Resposta

A transformada de Laplace LF(t)G(t)(s) converge e, portanto, existe para todo s com Re(s)>a+b.

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