Em cada item, utilize coordenadas polares para determinar o limite.
lim (x, y) (0,0) e^-1x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite da função f(x,y)=e^-1x^2+y^2 quando (x,y)to(0,0). O conteúdo é cálculo de limite de função de duas variáveis usando coordenadas polares, em que faremos a troca
x = rcostheta, y = rsintheta, r>=0,
de modo que x^2+y^2=r^2 e o limite (x,y)to(0,0) corresponde a rto0^+.

Passo 2

Substituindo x^2+y^2=r^2 na expressão de f, obtemos
f(r,theta) = e^-1r^2
Observe que essa expressão não depende de theta, apenas de r.

Passo 3

Para rto0^+ temos tfrac1r^2to+infty, logo o expoente -tfrac1r^2to-infty e
e^-1r^2;longrightarrow;0
Portanto f(r,theta)to0 quando rto0^+.

Resposta

O limite é 0.

Exercícios relacionados