Continuidade de funções. é contínua em todo o R^2 ?
Passo 1
O enunciado apresenta a função
Queremos verificar se . Para isso, vamos estudar a continuidade em dois casos: pontos distintos da origem e o ponto .
Passo 2
Para (x,y)neq(0,0) a expressão xyraizx^2+y^2 é quociente de funções polinomiais e da função raiz quadrada de x^2+y^2, todas contínuas no domínio (x,y)mid x^2+y^2>0. Como o denominador nunca se anula fora da origem, f é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).
Como raizx^2+y^2to0 quando (x,y)to(0,0), esse majorante tende a zero, provando que o limite de f(x,y) é zero.
Passo 4
Visto que lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0), concluímos que f é contínua em (0,0). Combinando com a continuidade em todos os demais pontos, f é contínua em todo R^2.