Continuidade de funções.
f(x, y)=llx yraizx^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0 & , se(x, y)=(0,0) é contínua em todo o R^2 ?

Passo 1

O enunciado apresenta a função
Queremos verificar se . Para isso, vamos estudar a continuidade em dois casos: pontos distintos da origem e o ponto .

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) a expressão xyraizx^2+y^2 é quociente de funções polinomiais e da função raiz quadrada de x^2+y^2, todas contínuas no domínio (x,y)mid x^2+y^2>0. Como o denominador nunca se anula fora da origem, f é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

No ponto (0,0) precisamos mostrar que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) =lim(x,y)to(0,0)xyraizx^2+y^2=0
Usamos a desigualdade aritmético-geométrica para obter
|xy|<=x^2+y^22,
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|xyraizx^2+y^2| <=x^2+y^22raizx^2+y^2 =raizx^2+y^22
Como raizx^2+y^2to0 quando (x,y)to(0,0), esse majorante tende a zero, provando que o limite de f(x,y) é zero.

Passo 4

Visto que lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0), concluímos que f é contínua em (0,0). Combinando com a continuidade em todos os demais pontos, f é contínua em todo R^2.

Resposta

A função f é contínua em todo R^2.

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