Em cada item, verifique se o limite existe e, nos casos afirmativos, calcule o valor do limite. (Para tanto, utilize as propriedades de limites; utilize os testes de caminhos, se achar necessário; utilize substituição de variável).
lim (x, y) (0,0) x^2 sen^2(y)x^2+2 y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0) x^2sin^2(y)x^2+2y^2
O conteúdo é cálculo de limite em várias variáveis e vamos usar duas ideias principais: a desigualdade sin^2(y)<= y^2 e o Teorema do Aperto (squeeze theorem).

Passo 2

Usando sin^2(y)<= y^2, temos
0 ;<=; x^2sin^2(y)x^2+2y^2 ;<=; x^2y^2x^2+2y^2

Passo 3

Agora estimamos o termo à direita de duas formas:
x^2+2y^2>=2y^2 Longrightarrow x^2y^2x^2+2y^2<=x^2y^22y^2 =x^22,
x^2+2y^2>= x^2 Longrightarrow x^2y^2x^2+2y^2<=x^2y^2x^2 =y^2
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0 ;<=; x^2sin^2(y)x^2+2y^2 ;<=; minl(tfracx^22,,y^2r)
Como tfracx^22to0 e y^2to0 quando (x,y)to(0,0), pelo Teorema do Aperto o limite da fração também é 0.

Passo 4

Para reforçar, em qualquer caminho do tipo y=mx ou x=0 ou y=0 a expressão tende a 0. Isso confirma que o limite existe e vale 0.

Resposta

0

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