Questão 2. Determine a transformada de Laplace inversa das funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace inversa da função
. Vamos usar conhecimentos de transformadas de Laplace e frações parciais para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, precisamos fatorar o denominador para facilitar a decomposição em frações parciais. Olhando para
, vamos encontrar dois números que multiplicados dão -12 e somados dão 1. Esses números são 4 e -3. Então, podemos reescrever o denominador:
Agora, a função fica:
Passo 3
Vamos decompor
em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Vamos encontrar os valores de
e
substituindo valores específicos de
que simplificam a equação.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
(qualquer outro valor conveniente):
Substituindo os valores dee encontrados na equação original para resolver .
Resolvendo:
Encontrando um denominador comum e simplificando:
Passo 5
Agora que temos todos os coeficientes, podemos reescrever a decomposição em frações parciais:
Simplificando:
Passo 6
Agora, aplicamos a transformada de Laplace inversa a cada termo. Lembrando que:
Aplicando isso aos termos:
Resposta
A transformada de Laplace inversa de
é: