Questão 2. Determine a transformada de Laplace inversa das funções
F(s)=2 s-5s^2(s^2+s-12)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace inversa da função F(s) = 2s - 5s^2(s^2 + s - 12) . Vamos usar conhecimentos de transformadas de Laplace e frações parciais para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, precisamos fatorar o denominador para facilitar a decomposição em frações parciais. Olhando para s^2 + s - 12 , vamos encontrar dois números que multiplicados dão -12 e somados dão 1. Esses números são 4 e -3. Então, podemos reescrever o denominador:
s^2 + s - 12 = (s + 4)(s - 3)
Agora, a função fica:
F(s) = 2s - 5s^2(s + 4)(s - 3)

Passo 3

Vamos decompor F(s) em frações parciais. Assumimos que:
2s - 5s^2(s + 4)(s - 3) = As + Bs^2 + Cs + 4 + Ds - 3
Multiplicando ambos os lados por s^2(s + 4)(s - 3) para eliminar os denominadores:
2s - 5 = A cdot s(s + 4)(s - 3) + B cdot (s + 4)(s - 3) + C cdot s^2(s - 3) + D cdot s^2(s + 4)

Passo 4

Vamos encontrar os valores de A, B, C e D substituindo valores específicos de s que simplificam a equação.
  1. Para s = 0 :
2(0) - 5 = A cdot 0 + B cdot (4)(-3) + C cdot 0 + D cdot 0 Rightarrow -5 = -12B Rightarrow B = 512
  1. Para s = 3 :
2(3) - 5 = A cdot 3 cdot 7 cdot 0 + B cdot 7 cdot 0 + C cdot 9 cdot 0 + D cdot 9 cdot 7 Rightarrow 1 = 63D Rightarrow D = 163
  1. Para s = -4 :
2(-4) - 5 = A cdot (-4) cdot 0 cdot (-7) + B cdot 0 cdot (-7) + C cdot 16 cdot (-7) + D cdot 16 cdot 0 Rightarrow -13 = -112C Rightarrow C = 13112
  1. Para s = 1 (qualquer outro valor conveniente):
    Substituindo os valores de B, C e D encontrados na equação original para resolver A .
2(1) - 5 = A cdot 1 cdot 5 cdot (-2) + 512 cdot 5 cdot (-2) + 13112 cdot 1 cdot (-2) + 163 cdot 1 cdot 5
-3 = -10A - 5012 - 26112 + 563
Resolvendo:
-3 = -10A - 256 - 1356 + 563
Encontrando um denominador comum e simplificando:
-3 = -10A - 525 + 39 - 40168 Rightarrow -3 = -10A - 524168
-3 + 524168 = -10A Rightarrow -504168 + 524168 = -10A Rightarrow 20168 = -10A
A = -201680 = -184

Passo 5

Agora que temos todos os coeficientes, podemos reescrever a decomposição em frações parciais:
2s - 5s^2(s + 4)(s - 3) = -184s + 512s^2 + 13112s + 4 + 163s - 3
Simplificando:
F(s) = -184 cdot 1s + 512 cdot 1s^2 + 13112 cdot 1s + 4 + 163 cdot 1s - 3

Passo 6

Agora, aplicamos a transformada de Laplace inversa a cada termo. Lembrando que:
L^-11s = 1
L^-11s^2 = t
L^-11s + a = e^-at
L^-11s - a = e^at
Aplicando isso aos termos:
L^-1F(s) = -184 cdot 1 + 512 cdot t + 13112 cdot e^-4t + 163 cdot e^3t

Resposta

A transformada de Laplace inversa de F(s) é:
f(t) = -184 + 512 t + 13112 e^-4t + 163 e^3t

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