Seja
, onde
é a superfície do cubo limitado pelos planos
e
. Encontrar o fluxo de
através da superfície
com orientação para fora.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial
e uma superfície
que é a casca de um cubo delimitado pelos planos
,
,
,
,
e
. A missão aqui é encontrar o fluxo desse campo através da superfície
, ou seja, quanto do campo está “passando” para fora desse cubo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o teorema da divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de campo que atravessa essa superfície. Para calcular isso, usamos uma integral de superfície, mas nesse caso específico, como a superfície é fechada e forma um cubo, podemos aproveitar o teorema da divergência para simplificar os cálculos.
Passo 3
O teorema da divergência, também conhecido como teorema de Gauss, relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral tripla da divergência desse campo sobre o volume limitado pela superfície. Em fórmula:
Aqui,
é a divergência do campo
, e
é o volume do cubo.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
,
, e
. Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 5
Agora que temos a divergência constante igual a 6, vamos calcular a integral tripla sobre o volume do cubo. Como o cubo vai de 0 a 2 em cada coordenada, a integral fica assim:
A Volume do cubo é lado ao cubo, ou seja,
.
Passo 6
Multiplicando a divergência pela volume:
Resposta
O fluxo de
através da superfície
com orientação para fora é igual a
.