Seja F(x, y, z)=x i+2 y j+3 z k, onde sigma é a superfície do cubo limitado pelos planos x=0, x=2, y=0, y=2, z=0 e z=2. Encontrar o fluxo de F através da superfície sigma com orientação para fora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial F(x, y, z) = x,i + 2y,j + 3z,k e uma superfície sigma que é a casca de um cubo delimitado pelos planos x=0, x=2, y=0, y=2, z=0 e z=2. A missão aqui é encontrar o fluxo desse campo através da superfície sigma, ou seja, quanto do campo está “passando” para fora desse cubo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o teorema da divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de campo que atravessa essa superfície. Para calcular isso, usamos uma integral de superfície, mas nesse caso específico, como a superfície é fechada e forma um cubo, podemos aproveitar o teorema da divergência para simplificar os cálculos.

Passo 3

O teorema da divergência, também conhecido como teorema de Gauss, relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral tripla da divergência desse campo sobre o volume limitado pela superfície. Em fórmula:
integral duplasigma F cdot n, dS = integral triplaV (nabla cdot F), dV
Aqui, nabla cdot F é a divergência do campo F, e V é o volume do cubo.

Passo 4

Vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial F = P,i + Q,j + R,k é dada por:
nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
No nosso caso, P = x, Q = 2y, e R = 3z. Calculando as derivadas parciais:
partial Ppartial x = 1, partial Qpartial y = 2, partial Rpartial z = 3
Então,
nabla cdot F = 1 + 2 + 3 = 6

Passo 5

Agora que temos a divergência constante igual a 6, vamos calcular a integral tripla sobre o volume do cubo. Como o cubo vai de 0 a 2 em cada coordenada, a integral fica assim:
integral triplaV 6, dV = 6 times Volume do cubo
A Volume do cubo é lado ao cubo, ou seja, 2 times 2 times 2 = 8.

Passo 6

Multiplicando a divergência pela volume:
6 times 8 = 48

Resposta

O fluxo de F através da superfície sigma com orientação para fora é igual a 48.

Exercícios relacionados