Em cada item, utilize operações elementares sobre linhas para mostrar que:
a forma escalonada reduzida da matriz
\left[\begin{array}{ccccc} 4 & 4 & 3 & 18 & -11 \\\\ -3 & -3 & 1 & -7 & 5 \\\\ 3 & 3 & 3 & 15 & -9 \end{array}\right] \quad e \quad\left[\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 0 & 3 & -2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para obter a forma escalonada reduzida (RREF) da matriz\r
\begin{bmatrix} 4 & 4 & 3 & 18 & -11 \\[6pt] -3 & -3 & 1 & -7 & 5 \\[6pt] 3 & 3 & 3 & 15 & -9 \end{bmatrix}\r
usando operações elementares sobre linhas (eliminação de Gauss–Jordan): criar pivôs iguais a 1 e zerar as entradas acima e abaixo de cada pivô.]

Passo 2

Escolhemos pivô na primeira coluna e normalizamos a primeira linha:\r
R_1 \leftarrow \tfrac{1}{4}R_1 \quad\Longrightarrow\quad \begin{bmatrix} 1 & 1 & \tfrac{3}{4} & \tfrac{9}{2} & -\tfrac{11}{4} \\[6pt] -3 & -3 & 1 & -7 & 5 \\[6pt] 3 & 3 & 3 & 15 & -9 \end{bmatrix}]

Passo 3

Zeramos as entradas abaixo do pivô na coluna 1 aplicando\r
R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1, \quad R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1
\begin{bmatrix} 1 & 1 & \tfrac{3}{4} & \tfrac{9}{2} & -\tfrac{11}{4} \\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{13}{4} & \tfrac{13}{2} & -\tfrac{13}{4} \\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{3}{4} & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{3}{4} \end{bmatrix}]

Passo 4

Agora escolhemos pivô na coluna 3 (segunda linha) e normalizamos:\r
R_2 \leftarrow \tfrac{4}{13}R_2 \quad\Longrightarrow\quad \begin{bmatrix} 1 & 1 & \tfrac{3}{4} & \tfrac{9}{2} & -\tfrac{11}{4} \\[6pt] 0 & 0 & 1 & 2 & -1 \\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{3}{4} & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{3}{4} \end{bmatrix}]

Passo 5

Por fim, zeramos todas as outras entradas da coluna 3 aplicando\r
R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{3}{4}R_2, \quad R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{3}{4}R_2
\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 3 & -2 \\[6pt] 0 & 0 & 1 & 2 & -1 \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}]

Resposta

A forma escalonada reduzida da matriz original é\r
\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 3 & -2 \\[6pt] 0 & 0 & 1 & 2 & -1 \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.]

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