Seja C definido ao longo de um arco |z|=1. Calcule a integral \int_{C}\left(\frac{z+1}{z}\right) d z. Justifique sua resposta.
Indo de z=-i, passando por z=-1 até z=i.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha sobre o arco C da circunferência \lvert z\rvert=1 que vai de z=-i até z=i passando por z=-1, do integrando
\frac{z+1}{z}\,dz.
O que vamos usar é a decomposição do integrando e o fato de que \displaystyle\int_Cdz = z\Big\vert_{\,-i}^{\,i}
e \displaystyle\int_C\frac{dz}{z} = \Delta(\Arg z)\,i
num ramo contínuo de argumento ao longo de C.

Passo 2

Reescrevendo
\frac{z+1}{z} \;=\; 1 \;+\;\frac1z,
temos
\int_C\frac{z+1}{z}\,dz =\int_C1\,dz \;+\;\int_C\frac{1}{z}\,dz.

Passo 3

A primeira parcela é
\int_C1\,dz = z\Big\vert_{z=-i}^{\,z=i} = i - (-i) = 2\,i.

Passo 4

Para a segunda parcela usamos a variação de argumento ao longo de C. No ponto inicial z=-i temos \Arg(-i)=-\tfrac\pi2.
Como C passa por z=-1 e chega em z=i continuando no mesmo ramo, o argumento final é \Arg(i)=-\tfrac{3\pi}2.
Logo
\Delta(\Arg z) = -\tfrac{3\pi}2 - \bigl(-\tfrac\pi2\bigr) = -\pi,
e
\int_C\frac{dz}{z} = i\,\Delta(\Arg z) = i\bigl(-\pi\bigr) = -\,i\pi.

Passo 5

Somando as duas parcelas:
\int_C\frac{z+1}{z}\,dz =2\,i \;+\;(-\,i\pi) = i\,(2-\pi).

Resposta

i(2-\pi)

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