Seja C definido ao longo de um arco |z|=1. Calcule a integral \int_{C}\left(\frac{z+1}{z}\right) d z. Justifique sua resposta.
Indo de z=-i, passando por z=-1 até z=i.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha sobre o arco C da circunferência \lvert z\rvert=1 que vai de z=-i até z=i passando por z=-1, do integrando
\frac{z+1}{z}\,dz.
O que vamos usar é a decomposição do integrando e o fato de que \displaystyle\int_Cdz = z\Big\vert_{\,-i}^{\,i}
e \displaystyle\int_C\frac{dz}{z} = \Delta(\Arg z)\,i
num ramo contínuo de argumento ao longo de C.
\int_C1\,dz = z\Big\vert_{z=-i}^{\,z=i} = i - (-i) = 2\,i.
Passo 4
Para a segunda parcela usamos a variação de argumento ao longo de C. No ponto inicial z=-i temos \Arg(-i)=-\tfrac\pi2.
Como C passa por z=-1 e chega em z=i continuando no mesmo ramo, o argumento final é \Arg(i)=-\tfrac{3\pi}2.
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