1. Calcule todas os valores de z que satisfazem a expressão \cos (z)=\operatorname{sen}(z) Comente o resultado. Justifique sua resposta

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os z\in\mathbb{C} tais que
\cos(z)=\operatorname{sen}(z).
O conteúdo é funções trigonométricas complexas e usaremos a definição de \tan(z) e a fórmula de arco-tangente complexa.

Passo 2

Observamos que não existe z com \cos(z)=0 e \operatorname{sen}(z)=0 simultaneamente, pois isso exigiria zeros coincidentes de \cos e \operatorname{sen}. Logo, em todas as soluções podemos dividir por \cos(z) sem problemas, obtendo
\tan(z)=1.

Passo 3

A solução geral de \tan(z)=1 é
z=\Arctan(1)+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
pois \tan tem período \pi.

Passo 4

Para calcular \Arctan(1) usamos a fórmula
\Arctan(w)=\frac{i}{2}\ln\!\Bigl(\frac{1-iw}{1+iw}\Bigr)
com w=1. Então
\Arctan(1)=\frac{i}{2}\ln\!\Bigl(\frac{1-i}{1+i}\Bigr).
Note que
\frac{1-i}{1+i}=-i
e \ln(-i)=-\tfrac{i\pi}{2}+2\pi i n. Assim
\Arctan(1) =\frac{i}{2}\bigl(-i\tfrac{\pi}{2}+2\pi i n\bigr) =\frac{\pi}{4}-\pi n.
Incorporando o inteiro n no k, fica
\Arctan(1)=\frac{\pi}{4}.

Passo 5

Portanto as soluções de \cos(z)=\operatorname{sen}(z) são
z=\frac{\pi}{4}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Comentário: todas as soluções são reais, pois a condição \tan(z)=1 força \Im(z)=0. Não surgem raízes com parte imaginária não nula.

Resposta

z=\frac{\pi}{4}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

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