Em cada item, utilize operações elementares sobre linhas para mostrar que:
a forma escalonada reduzida da matriz
\left[\begin{array}{ccc} 5 & -5 & 4 \\\\ -4 & 4 & -3 \\\\ 2 & -2 & 2 \\\\ -5 & 5 & -3 \\\\ -3 & 3 & 1 \end{array}\right] \quad e ́ \quad\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 5 & -5 & 4 \\[6pt] -4 & 4 & -3 \\[6pt] 2 & -2 & 2 \\[6pt] -5 & 5 & -3 \\[6pt] -3 & 3 & 1 \end{pmatrix}
e pede para mostrar, usando operações elementares de linha (Gauss–Jordan), que sua forma escalonada reduzida (RREF) é
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
O objetivo da eliminação de Gauss–Jordan é obter pivôs iguais a 1 e, em cada coluna de pivô, zerar todos os outros elementos, acima e abaixo.]

Passo 2

Primeiro, escolhemos um pivô conveniente na primeira coluna. Observamos que a linha 3 de A tem entrada 2, que é mais fácil de escalar do que 5. Então fazemos
R_1 \longleftrightarrow R_3
para trocar a linha 1 com a 3, ficando
\begin{pmatrix} 2 & -2 & 2 \\[4pt] -4 & 4 & -3 \\[4pt] 5 & -5 & 4 \\[4pt] -5 & 5 & -3 \\[4pt] -3 & 3 & 1 \end{pmatrix}.
Em seguida, escalamos a nova linha 1 para que o pivô seja 1:
R_1 \leftarrow \tfrac12\,R_1,
obtendo
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\[4pt] -4 & 4 & -3 \\[4pt] 5 & -5 & 4 \\[4pt] -5 & 5 & -3 \\[4pt] -3 & 3 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora usamos o pivô 1 em (1,1) para zerar todas as entradas abaixo na primeira coluna. Aplicamos em cada linha i=2,3,4,5 a operação
R_i \leftarrow R_i + k_i\,R_1
onde k_2=4, k_3=-5, k_4=5, k_5=3. Isso produz:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & -1 \\[4pt] 0 & 0 & 2 \\[4pt] 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}.
Agora só há entradas não nulas na coluna 3 abaixo da linha 1.]

Passo 4

Na linha 2 já temos um pivô 1 em (2,3). Em Gauss–Jordan, zeramos todos os outros elementos na coluna 3, acima e abaixo desse pivô. Fazemos
R_1 \leftarrow R_1 - R_2,\quad R_3 \leftarrow R_3 + R_2,\quad R_4 \leftarrow R_4 - 2\,R_2,\quad R_5 \leftarrow R_5 - 4\,R_2.
O resultado final é
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
onde cada coluna de pivô tem um único 1 e zeros em todas as outras posições.]

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}]

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