Em cada item, utilize operações elementares sobre linhas para mostrar que:
a forma escalonada reduzida da matriz
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & -2 & 0 \\\\ 0 & 1 & -3 & -4 \\\\ 1 & 0 & -2 & 1 \\\\ -2 & 1 & 1 & -3 \end{array}\right] \quad e \quad\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & -2 & 0 \\\\ 0 & 1 & -3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 \\[6pt] 0 & 1 & -3 & -4 \\[6pt] 1 & 0 & -2 & 1 \\[6pt] -2 & 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}
e queremos mostrar que sua forma escalonada reduzida é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 \\[6pt] 0 & 1 & -3 & 0 \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 1 \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é o método de eliminação de Gauss–Jordan, usando operações elementares sobre linhas.]

Passo 2

Eliminamos as entradas abaixo do pivô na coluna 1 aplicando
R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{1}, \quad R_{4}\leftarrow R_{4}+2\,R_{1}.
Isso gera
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 \\[6pt] 0 & 1 & -3 & -4 \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 1 \\[6pt] 0 & 1 & -3 & -3 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Eliminamos a entrada na coluna 2 de R_{4} com
R_{4}\leftarrow R_{4}-R_{2},
ficando
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 \\[6pt] 0 & 1 & -3 & -4 \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 1 \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Tornamos R_{4} nula subtraindo R_{3}:
R_{4}\leftarrow R_{4}-R_{3},
obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 \\[6pt] 0 & 1 & -3 & -4 \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 1 \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Por fim, eliminamos o -4 em (2,4) usando o pivô de R_{3}:
R_{2}\leftarrow R_{2}+4\,R_{3},
já que -4+4\cdot1=0. Assim chegamos à forma escalonada reduzida
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 \\[6pt] 0 & 1 & -3 & 0 \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 1 \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 \\[6pt] 0 & 1 & -3 & 0 \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 1 \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}]

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