Exercício 2. Em cada item, indique se a matriz B está ou na forma escalonada e/ou na forma escalonada reduzida. Em caso negativo para alguma das duas situações, indique todas as condições da definição (vide video da aula síncrona sobre o assunto ou veja no livro de Colombo e Koiller) que não são satisfeitas. B=\left[\begin{array}{cccc}3 & -1 & 3 & -6 \\\\ 0 & 1 & 4 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & -2\end{array}\right]
está em forma escalonada e/ou em forma escalonada reduzida.
Segundo Colombo e Koiller, uma matriz está em forma escalonada se satisfaz:
(i) toda linha não nula fica acima de linhas nulas;
(ii) cada liderança (primeiro elemento não zero de uma linha) está numa coluna à direita da liderança da linha acima;
(iii) abaixo de cada liderança só há zeros.
Para ser forma escalonada reduzida é preciso, além de (i)–(iii), satisfazer também:
(iv) cada liderança vale 1;
(v) em cada coluna de liderança, todos os outros elementos são zero.
Passo 2
Verificação de (i)–(iii) para forma escalonada:
(i) não há linhas nulas em B, logo está ok;
(ii) as lideranças aparecem em (1,1), (2,2), (3,3), cada uma mais à direita que a anterior;
(iii) abaixo de cada liderança (em colunas 1, 2 e 3) só há zeros.
Portanto, B está em forma escalonada.
Passo 3
Verificação de (iv)–(v) para forma escalonada reduzida:
(iv) cada liderança deve valer 1. Em B, a liderança da primeira linha é 3\neq1, falha;
(v) em cada coluna de liderança não pode haver outros elementos não nulos. Na coluna 2 há -1 em (1,2) acima da liderança em (2,2), e na coluna 3 há 3 e 4 acima da liderança em (3,3), falha.
Resposta
B está em forma escalonada, mas não está em forma escalonada reduzida, pois falha as condições (iv) e (v) da definição de forma escalonada reduzida.