Exercício 2. Em cada item, indique se a matriz B está ou na forma escalonada e/ou na forma escalonada reduzida. Em caso negativo para alguma das duas situações, indique todas as condições da definição (vide video da aula síncrona sobre o assunto ou veja no livro de Colombo e Koiller) que não são satisfeitas.
B=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 \\\\ 0 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2\\\\ 0 & 1 & -1\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
e pede para verificar se ela está em forma escalonada (REF) e/ou em forma escalonada reduzida (RREF). Vamos lembrar as definições e checar cada condição.

Passo 2

Verificação de forma escalonada (REF). As condições são:
1. Todas as linhas não nulas ficam acima de quaisquer linhas nulas.
2. O primeiro elemento não nulo (pivô) de cada linha está estritamente à direita do pivô da linha anterior.
3. Todos os elementos abaixo de cada pivô são zero.
Para B:
  1. As duas linhas não nulas [1\;0\;-2] e [0\;1\;-1] aparecem antes das três linhas nulas. Portanto, condição 1 satisfeita.
  2. O pivô da primeira linha está na coluna 1 e o da segunda na coluna 2, e 2>1. Logo, condição 2 satisfeita.
  3. Abaixo de cada pivô (posições (1,1) e (2,2)) todos os elementos são zero. Assim, condição 3 satisfeita.
Conclusão: B está em forma escalonada (REF).

Passo 3

Verificação de forma escalonada reduzida (RREF). Além das três condições da REF, exige-se:
4. Cada pivô vale 1.
5. Cada pivô é o único elemento não nulo em sua coluna.
Para B:
4. Os pivôs já são 1. Logo, condição 4 satisfeita.
5. Na coluna 1 o único não nulo é o pivô em (1,1) e, na coluna 2, o único não nulo é o pivô em (2,2). Então, condição 5 satisfeita.
Conclusão: B está em forma escalonada reduzida (RREF).

Resposta

REF: sim
RREF: sim

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