Em cada item verificar se as aplicações dadas são homomorfismos e, nos casos afirmativos, determinar seus núcleos:
f: Z Z dada por f(x)=x+1 (aqui consideramos o grupo aditivo dos inteiros);

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
fcolon ZtoZ definida por
f(x)=x+1
é homomorfismo de grupos (aqui tomamos Z com a operação aditiva) e, se for, determinar o seu núcleo.

Passo 2

Lembrando que uma aplicação entre grupos aditivos é homomorfismo se e somente se
f(x+y)=f(x)+f(y)
para todos x,yinZ. Vamos comparar os dois lados:
f(x+y)=(x+y)+1=x+y+1,
f(x)+f(y)=(x+1)+(y+1)=x+y+2
Como x+y+1neq x+y+2 em geral, concluímos que f(x+y)neq f(x)+f(y).

Resposta

A aplicação f(x)=x+1 não é homomorfismo de grupos, logo não se define núcleo nesse caso.

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