Mostrar que se |G|=6 e G não é abeliano, então G é isomorfo a S3.

Passo 1

O enunciado diz que G é um grupo finito com lvert Grvert=6 e que G não é abeliano. O objetivo é mostrar que qualquer grupo de ordem 6 não abeliano é isomorfo a S3. Para isso, vamos usar os teoremas de Sylow e depois identificar a estrutura de semidireto que surge.

Passo 2

Pelo Teorema de Sylow, o número de subgrupos de Sylow- 3, digamos n3, satisfaz
n3,equiv,1pmod3 e n3mid 2
As únicas divisões de 2 são 1 e 2, mas n3equiv1pmod3 força n3=1. Logo existe um único Sylow- 3, que chamamos de N, com lvert Nrvert=3. Esse N é, portanto, normal em G.

Passo 3

Analogamente, o número de subgrupos de Sylow- 2, n2, satisfaz
n2,equiv,1pmod2 e n2mid 3
As divisões possíveis de 3 são 1 ou 3, e ambas são equiv1pmod2. Se n2=1, então o único Sylow- 2 seria normal, o que junto com N normal implicaria que G é produto direto de subgrupos cíclicos de ordens 2 e 3, isto é, abeliano — contradizendo a hipótese. Logo n2=3. Em particular, há exatamente três subgrupos de ordem 2, e três elementos de ordem 2.

Passo 4

Agora sabemos que é normal e que existem precisamente três elementos de ordem , cada um gerando um Sylow- . Logo
onde é qualquer subgrupo de ordem . Como , há apenas duas ações possíveis de em : a trivial (que daria o produto direto e um grupo abeliano) e a não trivial (que envia gerador em seu inverso). Como não é abeliano, a ação deve ser a não trivial, de modo que

Passo 5

Mas o semidireto C3rtimesinvC2 é exatamente a descrição usual de S3 (o grupo de permutações de três elementos): C3 corresponde às rotações circulares e C2 a uma reflexão que inverte a rotação. Portanto concluímos que
G;cong;S3

Resposta

G é isomorfo a S3.

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