Mostrar que se
e
não é abeliano, então
é isomorfo a
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um grupo finito com
e que
não é abeliano. O objetivo é mostrar que qualquer grupo de ordem
não abeliano é isomorfo a
. Para isso, vamos usar os teoremas de Sylow e depois identificar a estrutura de semidireto que surge.
Passo 2
Pelo Teorema de Sylow, o número de subgrupos de Sylow-
, digamos
, satisfaz
As únicas divisões de
são
e
, mas
força
. Logo existe um único Sylow-
, que chamamos de
, com
. Esse
é, portanto, normal em
.
Passo 3
Analogamente, o número de subgrupos de Sylow-
,
, satisfaz
As divisões possíveis de
são
ou
, e ambas são
. Se
, então o único Sylow-
seria normal, o que junto com
normal implicaria que
é produto direto de subgrupos cíclicos de ordens
e
, isto é, abeliano — contradizendo a hipótese. Logo
. Em particular, há exatamente três subgrupos de ordem
, e três elementos de ordem
.
Passo 4
Agora sabemos que
é normal e que existem precisamente três elementos de ordem
, cada um gerando um Sylow-
. Logo
onde
é qualquer subgrupo de ordem
. Como , há apenas duas ações possíveis de
em
: a trivial (que daria o produto direto e um grupo abeliano) e a não trivial (que envia gerador em seu inverso). Como
não é abeliano, a ação deve ser a não trivial, de modo que
Passo 5
Mas o semidireto
é exatamente a descrição usual de
(o grupo de permutações de três elementos):
corresponde às rotações circulares e
a uma reflexão que inverte a rotação. Portanto concluímos que