Se G é grupo finito e não possui subgrupos não triviais, mostrar que |G| é um número primo.

Passo 1

O enunciado diz que G é um grupo finito e que os únicos subgrupos de G são o trivial e e o próprio G. Queremos mostrar que lvert Grvert é primo. Vamos usar dois resultados clássicos de teoria de grupos finitos:
  1. Teorema de Lagrange: a ordem de todo subgrupo divide a ordem do grupo.
  2. Teorema de Cauchy: se um primo p divide lvert Grvert, então existe em G um elemento de ordem p.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que não seja primo. Então existe um primo tal que e . Pelo Teorema de Cauchy, existe com .

Passo 3

O elemento g gera o subgrupo cíclico
lang<= grang<= = e,g,g^2,dots,g^p-1,
cuja ordem é lvertlang<= grang<=rvert = p. Como 1<p<lvert Grvert, lang<= grang<= é um subgrupo não trivial e próprio de G, o que contradiz a hipótese de que G não possui subgrupos não triviais além de si próprio.

Resposta

Portanto, lvert Grvert não pode ter divisor próprio além de 1 e de si mesmo, isto é, lvert Grvert é primo.

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