Se
é grupo finito e não possui subgrupos não triviais, mostrar que
é um número primo.
Passo 1
O enunciado diz que
é um grupo finito e que os únicos subgrupos de
são o trivial
e o próprio
. Queremos mostrar que
é primo. Vamos usar dois resultados clássicos de teoria de grupos finitos:
- Teorema de Lagrange: a ordem de todo subgrupo divide a ordem do grupo.
- Teorema de Cauchy: se um primo
divide , então existe em um elemento de ordem .
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
não seja primo. Então existe um primo
tal que
e
. Pelo Teorema de Cauchy, existe
com .
Passo 3
O elemento
gera o subgrupo cíclico
cuja ordem é
. Como
,
é um subgrupo não trivial e próprio de
, o que contradiz a hipótese de que
não possui subgrupos não triviais além de si próprio.
Resposta
Portanto,
não pode ter divisor próprio além de
e de si mesmo, isto é,
é primo.