O conjunto G=1, 3, 5, 7 é um grupo em relação à multiplicação módulo 8. Sabendo que H=e, a, b, c é um grupo isomorfo a G, construa a tábua de H.

Passo 1

O enunciado nos dá o grupo
G = 1, 3, 5, 7
com a operação multiplicação módulo 8, e um outro grupo
H = e,a,b,c
isomorfo a G. Queremos montar a tabela de multiplicação de H. Vamos usar teoria de grupos, especificamente isomorfismos entre grupos finitos e construção de tábuas de grupo.

Passo 2

Primeiro montamos a tábua de G. Sabendo que xcdoty = xy!bmod8, temos
c|cccc cdot & 1 & 3 & 5 & 7hline 1 & 1 & 3 & 5 & 7 3 & 3 & 1 & 7 & 5 5 & 5 & 7 & 1 & 3 7 & 7 & 5 & 3 & 1

Passo 3

Observamos que 1 é identidade, e cada um dos outros elementos tem ordem 2 (por exemplo 3^2=1). Logo G é isomorfo ao grupo de Klein V4, que também é abeliano e em que todo elemento não-identidade se inverte em si mesmo.

Passo 4

Escolhemos um isomorfismo fcolon Hto G qualquer, por exemplo
f(e)=1, f(a)=3, f(b)=5, f(c)=7
Pela propriedade de isomorfismo, vale
f(xy)=f(x)cdot f(y)forall,x,yin H
Assim, por exemplo, como 3cdot5=7, temos
f(a,b)=f(a)cdot f(b)=7=f(c),
logo a,b=c. Analogamente obtemos todas as produtos em H.

Passo 5

Usando a abelianidade de G (e, portanto, de H), completamos a tábua de H da maneira seguinte:
c|cccc cdot & e & a & b & chline e & e & a & b & c a & a & e & c & b b & b & c & e & a c & c & b & a & e

Resposta

c|cccc cdot & e & a & b & chline e & e & a & b & c a & a & e & c & b b & b & c & e & a c & c & b & a & e

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