O conjunto é um grupo em relação à multiplicação módulo 8. Sabendo que é um grupo isomorfo a , construa a tábua de .
Passo 1
O enunciado nos dá o grupo
com a operação multiplicação módulo , e um outro grupo
isomorfo a . Queremos montar a tabela de multiplicação de . Vamos usar teoria de grupos, especificamente isomorfismos entre grupos finitos e construção de tábuas de grupo.
Passo 2
Primeiro montamos a tábua de . Sabendo que , temos
Observamos que 1 é identidade, e cada um dos outros elementos tem ordem 2 (por exemplo 3^2=1). Logo G é isomorfo ao grupo de Klein V4, que também é abeliano e em que todo elemento não-identidade se inverte em si mesmo.
Passo 4
Escolhemos um isomorfismo fcolon Hto G qualquer, por exemplo
f(e)=1, f(a)=3, f(b)=5, f(c)=7
Pela propriedade de isomorfismo, vale
f(xy)=f(x)cdot f(y)forall,x,yin H
Assim, por exemplo, como 3cdot5=7, temos
f(a,b)=f(a)cdot f(b)=7=f(c),
logo a,b=c. Analogamente obtemos todas as produtos em H.
Passo 5
Usando a abelianidade de G (e, portanto, de H), completamos a tábua de H da maneira seguinte:
c|cccc cdot & e & a & b & chline e & e & a & b & c a & a & e & c & b b & b & c & e & a c & c & b & a & e
Resposta
c|cccc cdot & e & a & b & chline e & e & a & b & c a & a & e & c & b b & b & c & e & a c & c & b & a & e