Em cada item verificar se as aplicações dadas são homomorfismos e, nos casos afirmativos, determinar seus núcleos:
f: R^* R^* dada por f(x)=x^2 (considerando o grupo multiplicativo dor reais não nulos);

Passo 1

O enunciado define uma aplicação
fcolon R^*to R^*
pela regra f(x)=x^2, onde R^* é o grupo multiplicativo dos reais não nulos. Precisamos verificar se f preserva a operação (isto é, se é homomorfismo de grupos) e, em caso afirmativo, determinar
ker f.

Passo 2

Para ser homomorfismo em (R^*,times), devemos ter
f(xy);=;f(x),f(y)
para todo x,yinR^*. De fato,
f(xy) = (xy)^2 = x^2,y^2 = f(x),f(y)
Logo, f é um homomorfismo de grupos.

Passo 3

O núcleo de f é
ker f ;=;,xinR^*mid f(x)=1
Como f(x)=x^2, resolvemos
x^2=1
em R^*. As soluções são x=1 e x=-1. Portanto
ker f = -1,,1

Resposta

f é homomorfismo e ker f=-1,1.

Exercícios relacionados