Seja N um subgrupo cíclico e normal de G. Mostre que todo subgrupo de T é subgrupo normal de G.

Passo 1

O enunciado diz que N é um subgrupo cíclico e normal de G. Queremos mostrar que todo subgrupo T de N é normal em G.
Conteúdo a usar:
– Se Nlhd G e T é característico em N, então Tlhd G.
– Em um grupo cíclico, todo subgrupo é característico.

Passo 2

Seja Nlhd G e T<= N. Lembramos que um subgrupo T de N é dito característico se toda automorfismo varphiinAut(N) satisfaz varphi(T)=T. E vale o fato padrão:
se T<= Nlhd G e T é característico em N, então Tlhd G éíã

Passo 3

Agora provamos que todo subgrupo de N (cíclico) é característico.
Como N é cíclico, escrevamos N=lang<= xrang<=. Seja T<= N. Então existe um inteiro d>=1 (ou d divisor da ordem de N) tal que
T=lang<= x^drang<=
Um automorfismo varphiinAut(N) satisfaz varphi(x)=x^k para algum k invertível no anel Bbb Z (se N finito de ordem n, então gcd(k,n)=1; se N infinito, então k=pm1). Logo
varphil(x^dr)=l(varphi(x)r)^d=(x^k)^d=x^kd
Mas lang<= x^kdrang<==lang<= x^drang<=, pois k é invertível no ciclo de expoentes. Assim
varphil(lang<= x^drang<=r)=lang<= x^kdrang<==lang<= x^drang<=,
mostrando que T é invariável por todo varphiinAut(N). Portanto T é característico em N.

Passo 4

Como T é característico em N e Nlhd G, concluímos que
Tlhd G

Resposta

Todo subgrupo T de N é normal em G.

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