Seja
um subgrupo cíclico e normal de
. Mostre que todo subgrupo de
é subgrupo normal de
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um subgrupo cíclico e normal de
. Queremos mostrar que todo subgrupo
de
é normal em
.
Conteúdo a usar:
– Se e
é característico em
, então
.
– Em um grupo cíclico, todo subgrupo é característico.
Conteúdo a usar:
– Se
– Em um grupo cíclico, todo subgrupo é característico.
Passo 2
Seja
e
. Lembramos que um subgrupo
de
é dito característico se toda automorfismo
satisfaz
. E vale o fato padrão:
Passo 3
Agora provamos que todo subgrupo de
(cíclico) é característico.
Como é cíclico, escrevamos
. Seja
. Então existe um inteiro
(ou
divisor da ordem de
) tal que
Como
Um automorfismo
satisfaz
para algum
invertível no anel
(se
finito de ordem
, então
; se
infinito, então
). Logo
Mas
, pois
é invertível no ciclo de expoentes. Assim
mostrando que
é invariável por todo
. Portanto
é característico em
.
Passo 4
Como
é característico em
e
, concluímos que
Resposta
Todo subgrupo
de
é normal em
.