Sejam
e
subgrupos normais de
tais que
. Mostre que
, para todos
e
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são subgrupos normais de
com
Queremos mostrar que todo
e todo
comutam, ou seja,
. Para isso vamos usar o comutador de dois elementos e a normalidade de
e
.
Passo 2
Definimos o comutador de
e
por
Como
é normal, temos
e, multiplicando `a direita por
, segue
Como
é normal, também
e, multiplicando `a direita por
, obtemos
Como
é um subgrupo, de
segue
. Portanto
Passo 3
Pela hipótese
concluímos
, ou seja
Multiplicando à direita por
e depois por
obtemos
Resposta
Para todos
e
, vale
.