Sejam M e N subgrupos normais de G tais que M cap N=e. Mostre que m n=n m, para todos m in M e n in N.

Passo 1

O enunciado diz que M e N são subgrupos normais de G com
Mcap N = e
Queremos mostrar que todo min M e todo nin N comutam, ou seja, m,n = n,m. Para isso vamos usar o comutador de dois elementos e a normalidade de M e N.

Passo 2

Definimos o comutador de m e n por
c = m,n,m^-1,n^-1
Como N é normal, temos m,n,m^-1in N e, multiplicando `a direita por n^-1in N, segue
c in N
Como M é normal, também n,m,n^-1in M e, multiplicando `a direita por m^-1in M, obtemos
c^-1 = n,m,n^-1,m^-1in M
Como M é um subgrupo, de c^-1in M segue cin M. Portanto
cin Mcap N

Passo 3

Pela hipótese Mcap N=e concluímos c=e, ou seja
m,n,m^-1,n^-1 = e
Multiplicando à direita por n e depois por m obtemos
m,n = n,m

Resposta

Para todos min M e nin N, vale ;m,n = n,m.

Exercícios relacionados