A função
dada por
é um automorfismo?
Passo 1
O enunciado define
por
onde
é o grupo multiplicativo dos reais não nulos. Queremos saber se
é um automorfismo, ou seja, se é um homomorfismo de grupos bijetivo.
Passo 2
Verificamos que
preserva a operação (é homomorfismo): para quaisquer
,
Passo 3
Para ser automorfismo,
precisa ser bijetiva:
- Sobrejetividade:
para todo , logo não há preimagem de valores negativos em . Falta sobrejetividade. - Injetividade: se
então e , de modo que quando . Falta injetividade.
Portanto,
não é bijetiva.
Resposta
Não, pois apesar de ser homomorfismo,
não é bijetiva e logo não é automorfismo.