A função t: R^* R^* dada por t(x)=x^2 é um automorfismo?

Passo 1

O enunciado define tcolon R^* to R^* por
t(x)=x^2,
onde R^*=Rsetminus0 é o grupo multiplicativo dos reais não nulos. Queremos saber se t é um automorfismo, ou seja, se é um homomorfismo de grupos bijetivo.

Passo 2

Verificamos que t preserva a operação (é homomorfismo): para quaisquer x,yin R^*,
t(xy)=(xy)^2=x^2y^2=t(x),t(y)

Passo 3

Para ser automorfismo, t precisa ser bijetiva:
  • Sobrejetividade: t(x)=x^2>0 para todo xneq0, logo não há preimagem de valores negativos em R^*. Falta sobrejetividade.
  • Injetividade: se t(x1)=t(x2) então x1^2=x2^2 e x1=pm x2, de modo que x1neq x2 quando x2=-x1. Falta injetividade.
Portanto, t não é bijetiva.

Resposta

Não, pois apesar de ser homomorfismo, t não é bijetiva e logo não é automorfismo.

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