Determine todos os automorfismos de G=1, 3, 5, 7.

Passo 1

O enunciado pede para determinar todos os automorfismos do grupo
G=1,3,5,7
sob multiplicação módulo 8. Vamos usar teoria de grupos finitos, em particular automorfismos de grupos abelianos e o fato de que G é isomorfo ao grupo de Klein C2times C2.

Passo 2

Identificamos a estrutura de G calculando as ordens dos elementos:
1 é identidade, logo ord(1)=1.
3^2=9=1, logo ord(3)=2.
5^2=25=1, logo ord(5)=2.
7^2=49=1, logo ord(7)=2.
Como existem exatamente três elementos de ordem 2, Gcong C2times C2.

Passo 3

Em qualquer automorfismo varphi:Gto G deve valer
varphi(1)=1
e elementos de ordem 2 têm de ser enviados em elementos de ordem 2.
Portanto varphi é totalmente determinado pela permutação de
3,5,7.

Passo 4

O número de automorfismos é o número de permutações de três objetos, ou seja
3! = 6
Concretamente, se escolhemos
varphi(3)=x e varphi(5)=y com
x,yin3,5,7, xneq y, então
varphi(7) =varphi(3cdot5) =varphi(3)cdotvarphi(5) = xcdot y
dá automaticamente varphi(7), completando o automorfismo.

Resposta

  1. phi1 (identidade):
    3mapsto3,;5mapsto5,;7mapsto7
  2. phi2:
    3mapsto3,;5mapsto7,;7mapsto5
  3. phi3:
    3mapsto5,;5mapsto3,;7mapsto7
  4. phi4:
    3mapsto7,;5mapsto5,;7mapsto3
  5. phi5:
    3mapsto5,;5mapsto7,;7mapsto3
  6. phi6:
    3mapsto7,;5mapsto3,;7mapsto5

Exercícios relacionados