O enunciado pede para determinar todos os automorfismos do grupo
sob multiplicação módulo 8. Vamos usar teoria de grupos finitos, em particular automorfismos de grupos abelianos e o fato de que é isomorfo ao grupo de Klein .
Passo 2
Identificamos a estrutura de calculando as ordens dos elementos: é identidade, logo . , logo . , logo ord(5)=2. 7^2=49=1, logo ord(7)=2.
Como existem exatamente três elementos de ordem 2, Gcong C2times C2.
Passo 3
Em qualquer automorfismo varphi:Gto G deve valer varphi(1)=1
e elementos de ordem 2 têm de ser enviados em elementos de ordem 2.
Portanto varphi é totalmente determinado pela permutação de 3,5,7.
Passo 4
O número de automorfismos é o número de permutações de três objetos, ou seja
3! = 6
Concretamente, se escolhemos varphi(3)=x e varphi(5)=y com x,yin3,5,7, xneq y, então
varphi(7) =varphi(3cdot5) =varphi(3)cdotvarphi(5) = xcdot y
dá automaticamente varphi(7), completando o automorfismo.