Em cada item verificar se as aplicações dadas são homomorfismos e, nos casos afirmativos, determinar seus núcleos:
f: R^* R^* dada por f(x)=2^x;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
f: R^* to R^*, f(x)=2^x
é um homomorfismo de grupos (com a operação multiplicação em R^*) e, em caso afirmativo, determinar o seu núcleo. Para isso vamos usar a definição de homomorfismo: f é homomorfismo se, para todo x,yinR^*, tivermos
f(xy)=f(x),f(y)

Passo 2

Vamos testar a condição de homomorfismo. Tomando x,yinR^*, temos
f(xy)=2^,x,y
enquanto
f(x),f(y)=2^x,2^y=2^,x+y
Para ser homomorfismo precisaríamos de 2^x,y=2^x+y para todos x,y, o que equivale a
x,y = x + y,
o que não vale de modo geral em R^*.

Resposta

A aplicação f(x)=2^x não satisfaz f(xy)=f(x)f(y) para todo x,y, logo não é um homomorfismo e não faz sentido falar em núcleo.

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