Determine todos os automorfismos de
.
Passo 1
O problema pede todos os automorfismos do grupo
. Um automorfismo é um homomorfismo bijetivo de um grupo em si mesmo. Aqui usaremos que
é um grupo cíclico gerado por
, ou seja, todo elemento de
pode ser escrito como
para algum
.
Passo 2
Seja
um homomorfismo de grupos. Como
é cíclico gerado por
, vale
Logo,
é totalmente determinado pelo valor
. Assim
Passo 3
Para que
seja um automorfismo, ele precisa ser bijetivo. Observemos:
- Se
, então para todo , não é injetivo nem sobrejetivo. - Se
, então é injetivo (pois implica ) mas não é sobrejetivo (por exemplo, não existe tal que ). - Se
, então é claramente injetivo e sobrejetivo.
Portanto, a única forma de
ser bijetiva é
ou
.
Passo 4
Concluímos que os únicos automorfismos de
são:
Resposta
Os automorfismos de
são exatamente
e
.