Determine todos os automorfismos de (Z,+).

Passo 1

O problema pede todos os automorfismos do grupo (Z,+). Um automorfismo é um homomorfismo bijetivo de um grupo em si mesmo. Aqui usaremos que Z é um grupo cíclico gerado por 1, ou seja, todo elemento de Z pode ser escrito como ncdot1 para algum ninZ.

Passo 2

Seja fcolonZtoZ um homomorfismo de grupos. Como Z é cíclico gerado por 1, vale
f(n)=fl(ncdot1r)=ncdot f(1)
Logo, f é totalmente determinado pelo valor k=f(1). Assim
f(n)=k,n, forall ninZ

Passo 3

Para que f seja um automorfismo, ele precisa ser bijetivo. Observemos:
  • Se k=0, então f(n)=0 para todo n, não é injetivo nem sobrejetivo.
  • Se lvert krvert>1, então f é injetivo (pois kn=0 implica n=0) mas não é sobrejetivo (por exemplo, não existe n tal que kn=1).
  • Se k=pm1, então f(n)=pm n é claramente injetivo e sobrejetivo.
Portanto, a única forma de f ser bijetiva é k=1 ou k=-1.

Passo 4

Concluímos que os únicos automorfismos de (Z,+) são:
f1(n)&=n, f2(n)&=-n

Resposta

Os automorfismos de (Z,+) são exatamente f(n)=n e f(n)=-n.

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