Em cada item, verifique se o campo vetorial é conservativo e, caso seja, encontre um potencial escalar.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial escalar tal que
. O conteúdo envolvido é o teste de conservatividade em
(usando
) e, se for conservativo, a construção da potencial via integração.
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial escalar
Passo 2
Chamando
e
, calculamos as derivadas parciais cruzadas:
Como
e o domínio é todo
(aberto e simplesmente conectado), concluímos que
é conservativo.
Passo 3
Para achar o potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é função que depende só de
.
Passo 4
Determinamos
impondo
. Calculando
e exigindo
, obtemos
onde
é constante arbitrária.
Resposta
O campo
é conservativo e uma função potencial é