Em cada item, verifique se o campo vetorial é conservativo e, caso seja, encontre um potencial escalar.
vec{F}(x, y)=(y,-x)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial \vec{F}(x,y) = (y, -x)
é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial escalar. Para campos definidos em \mathbb{R}^2 (domínio simplesmente conexo), basta checar se
\frac{\partial P}{\partial y} \;=\;\frac{\partial Q}{\partial x},
onde P(x,y)=y e Q(x,y)=-x.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(y)=1,
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(-x)=-1.

Passo 3

Como
\frac{\partial P}{\partial y}=1 \quad\text{e}\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=-1
não são iguais, o campo não satisfaz a condição necessária e suficiente de conservatividade em \mathbb{R}^2.

Resposta

O campo vetorial \vec{F}(x,y)=(y,-x) não é conservativo e, portanto, não admite potencial escalar.

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