Em cada item, verifique que o conjunto W é um subespaço do espaço vetorial V :
W=[lllx11 & x12 & x13 x21 & x22 & x23 x31 & x32 & x33]: x11+x22+x33=0 em V=M3(R).

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial
V = M3(R)
e o subconjunto
W = l,X=(xij)in M3(R) mid x11+x22+x33=0r
Queremos verificar que W é um subespaço de V. Para isso, vamos checar que
  1. A matriz nula pertence a W.
  2. W é fechado sob soma.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificar que a matriz nula 0in W. A matriz zero em M3(R) é
0 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Nesse caso, x11=x22=x33=0, logo
x11+x22+x33 = 0+0+0 = 0
Portanto 0in W.

Passo 3

Fechamento sob soma. Sejam
X = (xij),;Y=(yij)in W
Então
x11+x22+x33=0 e y11+y22+y33=0
Considere X+Y=(xij+yij). Seu traço é
(x11+y11) + (x22+y22) + (x33+y33) = (x11+x22+x33) + (y11+y22+y33) = 0 + 0 = 0
Logo X+Yin W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja lambdainR e X=(xij)in W, com
x11+x22+x33=0
Então lambda X=(lambda xij) tem traço
lambda x11 + lambda x22 + lambda x33 = lambda,(x11+x22+x33) = lambdacdot 0 = 0
Logo lambda Xin W.

Passo 5

Como 0in W, W é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que W é um subespaço de V.

Resposta

W é subespaço vetorial de M3(R).

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