Em cada item, verifique que o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
:
em
V=M3(R) .
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial
e o subconjunto
Queremos verificar que
W é um subespaço de
V . Para isso, vamos checar que
- A matriz nula pertence a
.W -
é fechado sob soma.W -
é fechado sob multiplicação escalar.W
Passo 2
Verificar que a matriz nula
0in W . A matriz zero em
M3(R) é
Nesse caso,
x11=x22=x33=0 , logo
Portanto
0in W .
Passo 3
Fechamento sob soma. Sejam
Então
Considere
X+Y=(xij+yij) . Seu traço é
Logo
X+Yin W .
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar. Seja
lambdainR e
X=(xij)in W , com
Então
lambda X=(lambda xij) tem traço
Logo
lambda Xin W .
Passo 5
Como
0in W ,
W é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que
W é um subespaço de
V .