Em cada item, verifique se o limite existe e, nos casos afirmativos, calcule o valor do limite. (Para tanto, utilize as propriedades de limites; utilize os testes de caminhos, se achar necessário; utilize substituição de variável).
lim (x, y) (0,0) e^-1x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0) e^-1x^2+y^2
que é um problema de limite de função de duas variáveis. Para resolver, vamos usar a substituição em coordenadas polares, que simplifica expressões que dependem de x^2+y^2.

Passo 2

Introduzimos r=raizx^2+y^2. Assim, sempre que (x,y)neq(0,0) vale
x^2+y^2=r^2
e a função passa a ser
f(x,y)=e^-1r^2

Passo 3

Ao fazermos (x,y)to(0,0), temos rto0^+. Logo
1r^2to+infty Longrightarrow -1r^2to-infty

Passo 4

Como a exponencial é contínua, podemos levar o limite para dentro da função:
limrto0^+e^-1r^2 =e^limrto0^+l(-1r^2r) =e^-infty =0

Resposta

O limite existe e vale 0.

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