Classifique em Linear de Primeira Ordem ou Bernoulli e resolva cada uma das equações diferenciais a seguir.
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício de Equações Diferenciais e precisa primeiro classificar se a equação dada é de primeira ordem linear ou do tipo Bernoulli. Depois, a gente vai resolver ela. A equação que temos é:
Para resolver, vamos precisar saber o que caracteriza uma equação linear de primeira ordem e uma equação de Bernoulli.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como identificar uma equação linear de primeira ordem. Ela tem a forma geral:
Comparando com a nossa equação:
Podemos ver que
e
. Como nossa equação se encaixa nessa forma, ela é uma equação linear de primeira ordem.
Passo 3
Agora que sabemos que é uma equação linear, vamos resolver usando o método do fator integrante. O primeiro passo é encontrar o fator integrante,
, que é dado por:
No nosso caso,
, então:
Como estamos trabalhando com funções contínuas, podemos simplificar para
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra para
. Para o lado direito, vamos precisar usar integração por partes.
Passo 6
Aplicando integração por partes no lado direito, onde:
-
então -
então
Aplicando a fórmula
:
Essa integral pode continuar, mas para simplificar, vamos considerar que encontraremos uma solução particular ou usar métodos numéricos dependendo do contexto.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.