Classifique em Linear de Primeira Ordem ou Bernoulli e resolva cada uma das equações diferenciais a seguir.
d yd x-3 yx=sin (x)

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício de Equações Diferenciais e precisa primeiro classificar se a equação dada é de primeira ordem linear ou do tipo Bernoulli. Depois, a gente vai resolver ela. A equação que temos é:
d yd x - 3 yx = sin(x)
Para resolver, vamos precisar saber o que caracteriza uma equação linear de primeira ordem e uma equação de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como identificar uma equação linear de primeira ordem. Ela tem a forma geral:
d yd x + P(x) y = Q(x)
Comparando com a nossa equação:
d yd x - 3 yx = sin(x)
Podemos ver que P(x) = -3x e Q(x) = sin(x). Como nossa equação se encaixa nessa forma, ela é uma equação linear de primeira ordem.

Passo 3

Agora que sabemos que é uma equação linear, vamos resolver usando o método do fator integrante. O primeiro passo é encontrar o fator integrante, mu(x), que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
No nosso caso, P(x) = -3x, então:
mu(x) = e^integral -3x dx = e^-3 ln|x| = |x|^-3
Como estamos trabalhando com funções contínuas, podemos simplificar para mu(x) = x^-3.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x):
x^-3 d yd x - x^-3 cdot 3 yx = x^-3 sin(x)
Isso simplifica para:
x^-3 d yd x - 3 x^-4 y = x^-3 sin(x)
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto mu(x) y:
dd x (x^-3 y) = x^-3 sin(x)

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x:
integral dd x (x^-3 y) dx = integral x^-3 sin(x) dx
O lado esquerdo integra para x^-3 y. Para o lado direito, vamos precisar usar integração por partes.

Passo 6

Aplicando integração por partes no lado direito, onde:
  • u = sin(x) então du = cos(x) dx
  • dv = x^-3 dx então v = integral x^-3 dx = x^-2-2 = -12 x^-2
Aplicando a fórmula integral u dv = uv - integral v du:
-12 x^-2 sin(x) - integral -12 x^-2 cos(x) dx = -12 x^-2 sin(x) + 12 integral x^-2 cos(x) dx
Essa integral pode continuar, mas para simplificar, vamos considerar que encontraremos uma solução particular ou usar métodos numéricos dependendo do contexto.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = x^3 ( integral x^-3 sin(x) dx + C )
Onde C é a constante de integração.

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