Determine o valor de Lpara que a função f(x) definida por:
f(x)=ll x^2-1x-1, & se x neq 1 L, & se x=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função f(x) definida de duas formas diferentes: para qualquer valor de x que não seja 1, a função é x^2-1x-1 , e quando x é exatamente 1, a função vale L . A gente precisa descobrir qual o valor de L para que essa função seja “suave” em todo lugar, especialmente em x = 1 . Para isso, vamos usar o conceito de limite, que nos ajuda a entender o comportamento da função perto de um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão x^2-1x-1 . Observa que no numerador temos uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada. Lembra que a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) ? Então,
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Substituindo na fração:
x^2-1x-1 = (x - 1)(x + 1)x - 1

Passo 3

Agora, podemos simplificar a fração. O termo (x - 1) está tanto no numerador quanto no denominador, então eles se cancelam:
(x - 1)(x + 1)x - 1 = x + 1 para x neq 1
Isso significa que, para todos os valores de x que não sejam 1, f(x) = x + 1 .

Passo 4

Para a função ser contínua em x = 1 , o valor que ela “pula” no ponto x = 1 precisa ser igual ao limite da função quando x se aproxima de 1. Ou seja, queremos que:
limx to 1 f(x) = f(1) = L
Já que f(x) = x + 1 para x neq 1 , vamos calcular esse limite.

Passo 5

Calculando o limite:
limx to 1 f(x) = limx to 1 (x + 1) = 1 + 1 = 2
Isso significa que, para a função ser contínua em x = 1 , f(1) também precisa ser 2.

Resposta

O valor de L é 2.

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